МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра АСУ
Звіт
Лабораторна робота № 6
Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)
з дисципліни:
«Чисельні методи»
Варіант №9
Мета роботи: вивчити і засвоїти метод Ньютона.
Порядок роботи
1) Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.
2) Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.
3) Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).
4) Створення проекту для виконання індивідуального завдання.
5) Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
6) Захист лабораторної роботи.
Завдання
Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно.
Код програми
#include <iostream>
#include <locale>
#include <math.h>
using namespace std;
double m_jak[2][2], m_rez[2], v_delta[2], cos(...);
void SetJ (double x, double y)
{
m_jak[0][0]=(-1)*x+1;
m_jak[0][1]=1;
m_jak[1][0]=2;
m_jak[1][1]=1-0.5*y*y;
}
void SetR (double x, double y)
{
m_rez[0]=-(cos(0.4*y+x*x)+x*x+y*y-1.6);
m_rez[1]=-(1.5*x*x-2*y*y-1);
}
void GetD ()
{
double det=1.0/(m_jak[0][0]*m_jak[1][1]-m_jak[1][0]*m_jak[0][1]);
double buf;
buf=m_jak[0][0];
m_jak[0][0]=m_jak[1][1]*det;
m_jak[1][1]=buf*det;
m_jak[1][0]=(-m_jak[1][0])*det;
m_jak[0][1]=(-m_jak[0][1])*det;
v_delta[0]=(m_rez[0])*m_jak[0][0]+(m_rez[1])*m_jak[0][1];
v_delta[1]=(m_rez[0])*m_jak[1][0]+(m_rez[1])*m_jak[1][1];
}
void main ()
{
double x=1, y=4;
setlocale (LC_ALL,"");
cout<<"Розв’язування системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь методом простої iтерацiї (методом Ньютона):"<<endl;
for (int i=1; i<8; i++){
SetJ (x, y);
SetR (x, y);
GetD ();
x+=v_delta[0];
y+=v_delta[1];
cout.precision(20);
cout<<"Iтерацiя "<<i<<endl;
cout<<"x="<<x<<" y="<<y<<endl;
cout.precision(6);
cout<<"Значення функцiй у цих точках: F1(x, y)="<<m_rez[0]<<" F2(x, y)="<<m_rez[1]<<endl;
}
cin.get();
}
Приклад виконання програми
Висновок: на даній роботі була створена програма для обчислення системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації (методом Нютона). Програма обчислювала розвязок для зазначеної у завданні системи рівнянь.
При виконанні програми, для досягнення розвязку, було здійснено 7 ітерацій. Початкове положення невідомих і при першій ітерації було обране таке: х=-34,15089, у=-10,5431, значення функцій для цих невідомих: F1(х , у)=-14,5431, F2(х , у)=31,5. Як зображено на скріншоті виконання програми при другій ітерації невідомі набули таких значень: х=-71,2308, у=16,05981, значення функцій для цих невідомих: F1(х, у)=1276,79, F2(х, у)=-1526,11. Після семи операцій було отримано такий кінцевий результат:
х=-2743,4552556 у=331,934249 (точне значення зображено на скріншоті виконання програми), а значення функцій у цих точках наближені до нуля.
Оскільки для обчислення даної системи слід здійснити всього 7 ітерацій, то єдине обмеження у точності обчислення становить апаратна і програмна частина. Для розв’язання більш складних систем кількість ітерацій може бути надзвичайно великою, тому слід задавати точність обчислення таких систем.
Абсолютна похибка:
сos(0,4у+х2)+х2+у2-1,6=-1,76367 1,88267-1,7637=0,11897
1,5х2-2у2-1=2,311 2,6753-2,311=0,3643
Відносна похибка:
0,11897/1,88267*100%=6,3%
0,3643/2,6753*100%=13,6%
